摘要：采用可壓縮流體的高階有限容積法(FVM)及其系列改進算法對燃氣管道進行了穩(wěn)態(tài)分析，探討了數(shù)學模型的建立和數(shù)學模型的求解。通過實例對比可知，F(xiàn)VM方法具有較快的運算速度和較好的收斂性，計算結果較準確。

關鍵詞：燃氣管道；穩(wěn)態(tài)分析；水力計算；有限容積法

LIU Xiaojing，ZHOU Weiguo，WANG Hai

Abstract：The steady-state analysis of gas pipeline is conducted using compressible fluid high-order finite volume method(FVM)and its improved algorithms.The establishment and solution of mathe-matical model are discussed.The ease comparison shows that FVM has rapider operation speed，better convergence and exact calculation result.

Key words：gas pipeline；steady-state analysis；hydraulic calculation；finite volume method(FVM)

   天然氣管網(wǎng)穩(wěn)態(tài)分析是天然氣管網(wǎng)設計和改造的依據(jù)，是進行管網(wǎng)動態(tài)模擬和分析的基礎，也是加強天然氣管網(wǎng)系統(tǒng)優(yōu)化運行以及確定最優(yōu)改擴建方案的基礎。管道模擬準確與否關鍵在于所建立的數(shù)學模型能否準確、全面地描述管內(nèi)流動過程以及能否找到快速求解模型且收斂性好的方法。

   在HARDY等人提出迭代法解非線性方程后，目前常用的穩(wěn)態(tài)分析方法有牛頓-拉夫遜(Newton-Raphson)法、線性逼近法、流體網(wǎng)絡理論。管延文、段常貴等都曾用牛頓-拉夫遜法進行過計算^[1～2]。牛頓-拉夫遜法是求解天然氣管網(wǎng)穩(wěn)態(tài)分析節(jié)點法數(shù)學模型的常用算法，但它有兩個主要缺點：①每次迭代都要計算雅可比矩陣及其逆矩陣，計算量大；②對迭代初始值要求比較高，如不能提供較好的初始值，則收斂較慢，甚至計算過程發(fā)散^[3]。國內(nèi)的姜東琪等^[4]和國外的KE^[5]也采用線性逼近法對燃氣管網(wǎng)進行過水力計算。KE和TA0等人利用流體網(wǎng)絡理論對管網(wǎng)進行了穩(wěn)態(tài)模擬^[6～7]。西南石油大學對燃氣管網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)計算方法進行了研究，分別應用節(jié)點法和環(huán)路法進行求解，但在計算中忽略了壓縮因子對氣體流動的影響^[8]。進行管網(wǎng)水力計算時，必須考慮管道中燃氣的可壓縮性。

    本文采用SIMPLE改進算法，用有限容積法(FVM)導出的離散方程可以保證具有守恒特性，而且離散方程系數(shù)的物理意義明確。這克服了采用有限差分法求解管網(wǎng)流動偏微分方程的多種困難；也可以克服管網(wǎng)計算中各管段管徑不同，以及在連接處流量突變的困難。對不同的管段進行長度不同的離散容積劃分，不會影響計算結果的連續(xù)性和迭代的收斂穩(wěn)定性。而傳統(tǒng)方法離散時，為了保證計算結果收斂，必須對長管段進行很細密的網(wǎng)格劃分，導致計算時間很長且無法保證數(shù)值解的守恒性。根據(jù)有限容積法離散方程的特點，可以采用高效的TDMA算法，存儲量很小^[9]。

   ① 管道數(shù)學模型

   管道內(nèi)氣體流動數(shù)學模型由動量方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程組成^[10]，見式(1)。因為管道內(nèi)溫度變化很小，所以不考慮能量方程。

 

式中ρ——燃氣密度，kg/m³

    u——燃氣速度，m/s

    x——管道軸向坐標，m

    p——燃氣壓力，Pa

    g——重力加速度，m/s²

    ρ_a——空氣密度，kg/m³

    α——管道與水平面夾角，rad

    λ——管道摩擦阻力系數(shù)

    d——管道內(nèi)徑，m

    z——壓縮因子

    R——氣體常數(shù)，J/(kg·K)

    T——燃氣溫度，K

   ② 模型的簡化

   a. 在動量方程中，對流項只在燃氣流速極大(接近聲速)時才有意義，而通常管道中燃氣流速不大于40m/s。此外，在高壓管網(wǎng)瞬態(tài)變化中，對流項相對于其他項數(shù)值較小，可以忽略^[11]。b.在城市燃氣管網(wǎng)中，管道的標高差值不太大，因此，動量方程中的重力項g(ρ-ρ_a)sinα一般忽略不計。

    通過簡化，可以得到仿真數(shù)學模型，見式(2)。

 

式中C——常量

   ③ 摩擦阻力系數(shù)

   管道摩擦阻力系數(shù)除與燃氣性質、管道材質等因素有關外，還與燃氣的流動狀態(tài)有關。不分低壓和高中壓管道，統(tǒng)一按流動狀態(tài)和管道材質來分類選取計算公式，進行燃氣管道摩擦阻力系數(shù)的計算^[12]。

   ① 數(shù)學模型的求解

   在計算氣體穩(wěn)定流動時，利用有限容積法一維交錯網(wǎng)格將壓力-速度耦合方程中不同的變量離散式存儲在不同的網(wǎng)格系統(tǒng)，將式(2)中的動量方程進行離散，見式(3)。i節(jié)點是速度控制容積的中心節(jié)點，I節(jié)點是壓力控制容積的中心節(jié)點。

 

式中a_i——i節(jié)點的離散方程系數(shù)，kg/s

    u_i——i節(jié)點的速度，m/s

    n——i節(jié)點周圍的節(jié)點數(shù)

    a_j——i節(jié)點周圍各節(jié)點的離散方程系數(shù)，kg/s

    u_j——i節(jié)點周圍各節(jié)點的速度，m/s

    p_I-1——I-1節(jié)點的壓力，Pa

    p_I——I節(jié)點的壓力，Pa

    A_i——速度控制容積的界面面積，m²

    b_i——方程源項，(kg·m)/s²

   在初始壓力下：

 

式中u_i^*——初始壓力下i節(jié)點的速度，m/s

    u_j^*——初始壓力下，i節(jié)點周圍各節(jié)點的速度，m/s

    p_I-1^*——I-1節(jié)點的初始壓力，Pa

    p_I^*——I節(jié)點的初始壓力，Pa

    設修正的壓力方程為：

    p=p^*+p′    (5)

式中p′——壓力修正值，Pa

    設修正的速度方程為：

    u=u^*++u′    (6)

式中u′——速度修正值，m/s

    由式(4)～(6)得：

 

式中u_i′——i節(jié)點速度修正值，m/s

    u_j′——i節(jié)點周圍各節(jié)點速度修正值，m/s

    p_I-1′——I-1節(jié)點的壓力修正值，Pa

    p_I′——I節(jié)點的壓力修正值，Pa

由于式(7)第一項是周圍節(jié)點速度引起的修正值，值很??；而第二項是同一方向相鄰節(jié)點壓力差引起的修正值，影響較大。故為簡化計算，略去第一項，并由式(6)、(7)得到速度的改進值：

 

   將速度改進值代入方程組(2)的連續(xù)性方程中，并將壓力修正值p′的系數(shù)歸一化處理，得到壓力修正方程：

    a_Ip_I′=a_I+1p_I+1′+a_I-1p_I-1′+b_I′    (9)

式中a_I——I節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    a_I+1——I+1節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    p_I+1′——I+1節(jié)點的壓力修正值，Pa

    a_I-1——I-1節(jié)點離散方程系數(shù)，kg/m

    b_I′——由于速度場的不正確引起的不平衡量，kg/s

   經(jīng)過多次迭代修正，最終b_I′是否趨于0可以作為判斷迭代過程是否滿足要求的判據(jù)。

   在計算時，管道內(nèi)氣體壓力和流速的分布采用雙精度Simple方法的PIS0模型進行求解。即通過壓力預測一修正方法，包括1個預測步驟和2個校正步驟，不斷地修正計算結果，反復迭代，最后求出壓力和速度的收斂解。

   ② 程序編制

   采用VB編寫計算程序，對網(wǎng)格參數(shù)、壓力參數(shù)內(nèi)循環(huán)迭代的計算均采用穩(wěn)定且快速收斂的TDMA方法。

   為驗證燃氣管網(wǎng)仿真軟件是否準確，英國氣體公司倫敦研究站(LRS)采用了一組不同管徑、流量下符合實際的燃氣的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)進行驗證。在相同的管徑、流量條件下，本文采用FVM方法進行穩(wěn)態(tài)仿真，并將仿真結果與新加坡國立大學采用電網(wǎng)絡傳輸線理論的模擬結果進行對比。

   p₁，p₂，p₃，p₄，p₅分別表示管道被平均分為4段后，5個節(jié)點處的壓力值。FVM方法的仿真結果與LRS的數(shù)據(jù)對比見表1，新加坡國立大學的電網(wǎng)絡傳輸線理論模擬結果與LRS的數(shù)據(jù)對比見表2。

    由表1可知，運用FVM方法的仿真結果與LRS的數(shù)據(jù)非常接近，平均相對誤差小于1.000%。表1與表2對比可知，F(xiàn)VM方法的仿真結果更準確。采用FVM方法具有較快的運算速度和較好的收斂性，為管網(wǎng)的動態(tài)分析提供了基礎，可以滿足工程的需要，對于管網(wǎng)的設計和安全控制都有重要的參考作用。

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(本文作者：劉曉婧 周偉國 王海 同濟大學機械工程學院 上海 201804)