摘  要  通常壓裂后氣井產(chǎn)能的計算模型都是針對穩(wěn)態(tài)滲流過程的，傾向于計算無阻流量和穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量，而對于整個動態(tài)生產(chǎn)過程的模擬則較少被提及。為此，根據(jù)復(fù)位勢理論和勢的疊加原理，再結(jié)合壓裂后水平氣井的裂縫形態(tài)和氣體的流動過程，用嚴(yán)格的滲流力學(xué)方法推導(dǎo)出了具有較廣泛適應(yīng)性的壓裂水平氣井生產(chǎn)動態(tài)預(yù)測公式。該預(yù)測公式既能用于存在縫間干擾的情況，又能夠在壓裂水平氣井裂縫兩翼非對稱、間距不相等、方位角任意的情況下使用。應(yīng)用該公式對吉林油田某水平氣井進(jìn)行了實例計算，計算值和實際值的誤差為2.62，并且通過預(yù)測公式能夠很好地模擬分析裂縫方位、裂縫條數(shù)、裂縫長度、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫間距等裂縫參數(shù)對壓裂水平氣井的產(chǎn)量影響，能夠滿足現(xiàn)場預(yù)測產(chǎn)量的需求。

關(guān)鍵詞  天然氣  水平井  生產(chǎn)動態(tài)  水力壓裂  產(chǎn)量  數(shù)學(xué)模型  預(yù)測

壓后水平氣井產(chǎn)能的準(zhǔn)確預(yù)測對壓裂水平井的優(yōu)化設(shè)計和經(jīng)濟(jì)評價有重要的影響，許多專家學(xué)者對此也進(jìn)行了研究^[1-4]。但在壓裂過程中，由于地應(yīng)力在水平井長度方向上的差異以及壓裂工藝技術(shù)的限制，使得形成的多條裂縫在長度、導(dǎo)流能力等方面可能會不相同；同時在生產(chǎn)過程中各條裂縫間要發(fā)生相互干擾，進(jìn)一步增加了壓后水平氣井產(chǎn)能計算的復(fù)雜性。因此，筆者推導(dǎo)出的壓裂水平氣井生產(chǎn)動態(tài)預(yù)測公式對壓后水平氣井的產(chǎn)能預(yù)測有重要意義。

1  模型建立

1.1物理模型

考慮圓形封閉均質(zhì)地層中心的1口井在壓裂后形成的多條裂縫時，其流動過程分為兩個部分：氣體從地層流向裂縫滿足線性流(圖1)；氣體從裂縫流向水平井筒滿足氣體的平面徑向流(圖2)。此為壓裂氣井產(chǎn)能計算的基礎(chǔ)。

1.2數(shù)學(xué)模型

圓形封閉均質(zhì)地層中一點匯(x，y)以定產(chǎn)量q_sc生產(chǎn)時在地層中任一點(x₀，Y₀)處產(chǎn)生的壓降公式^[5]為：

在時間間隔很小的時候，式(1)可以用于實際產(chǎn)量的計算。由于水平井筒不一定沿最小主應(yīng)力方向，所以水平井筒可能和裂縫成任意夾角，以水平井筒的井軸的方向為y軸方向，假設(shè)第i條裂縫與水平井筒的夾角為a (i)(0°≤a≤90°)，如圖3將兩翼裂縫都分成n等份^[6]，每一份可看成一個點匯。此時，就把每一個點匯的坐標(biāo)與裂縫的長度和裂縫方位角a(i)聯(lián)系了起來。

設(shè)第i條裂縫起裂點的坐標(biāo)為(0，y_fi)，左翼裂縫長度為x_fli，右翼裂縫長度為x_fri，則據(jù)此可求出第i條裂縫左翼和右翼上第j個點匯的坐標(biāo)(取該小段中點坐標(biāo))。然后把各條裂縫上各個點匯的坐標(biāo)代入式(1)，在考慮體積系數(shù)的情況下把它化為直角坐標(biāo)系，并利用貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可得第i條裂縫t時刻在地層中任意一點(x，y)處產(chǎn)生的壓降，最后根據(jù)勢的疊加原理就可求出n條裂縫t時刻在地層任意一點(x，y)處產(chǎn)生的壓降，即

假設(shè)第k條裂縫的產(chǎn)量為q_fk，左右兩翼的長度分別為x_fli、x_fri，所以得到第k條裂縫左翼和右翼上第j個點匯的產(chǎn)量q_flkj和q_frkj把左右兩翼上第j個點匯的產(chǎn)量和第i條裂縫左右兩翼的尖端坐標(biāo)代人式(2)，可以得到第k條兩翼尖端的壓力降，因為裂縫的兩翼可能不對稱，所以取兩翼尖端壓力的平均值作為裂縫的尖端壓力。

根據(jù)面積相等可得(x_fli+ x_fri)h=nR_i²(式中x_fli、x_fri分別為第i條裂縫的左右翼的長度，R_i為氣藏的當(dāng)量半徑)，所以第i條裂縫的流動可以看成是流動半徑為R_i,其中，地層厚度為ω_i，邊界壓力的平方為裂縫尖端壓力平方p²(x_fi，y_fi，t)，井底流壓為水平井井筒內(nèi)壓力p_wfi的微型氣藏^[7]，其流動方式可以看成是氣藏的平面徑向流。根據(jù)氣井產(chǎn)能計算公式，可以把氣體由裂縫向井筒的滲流過程表示為：

因為流體在水平井筒內(nèi)的壓力損失比基質(zhì)中的小，所以可以近似的認(rèn)為裂縫底部的壓力就等于水平井筒內(nèi)的壓力。結(jié)合上述公式，可得氣體從地層到井筒整個流動過程的滲流方程，即

2滲流方程求解

采用vb和vba編程語言編制程序?qū)ι鲜霎a(chǎn)能計算模型進(jìn)行求解，其中用牛頓迭代法求出方程中氣體的相關(guān)參數(shù)，再將n條裂縫的各微元段累加求和，并把同一條裂縫前面的系數(shù)合并，然后根據(jù)解矩陣方程的LU算法^[8]求出各條裂縫的產(chǎn)量，最后進(jìn)行求和就可得到整口井的總產(chǎn)量。

3計算實例分析

3.1產(chǎn)能模擬預(yù)測

應(yīng)用筆者所建立的模型對吉林油田某水平氣井進(jìn)行模擬計算，將輸出結(jié)果和實際產(chǎn)量進(jìn)行對比。

基本輸入?yún)?shù)：氣藏厚度9.144 m，地層壓力28.889 MPa，地層滲透率0.001 5 D，井筒半徑0.0762 m，井底流壓23.548 MPa，體積系數(shù)0.02，裂縫半翼長度100 m，裂縫寬度0.003 m，裂縫滲透率50D，裂縫間距100 m，裂縫方位角90^。，裂縫條數(shù)3條，生產(chǎn)時間365 d，孔隙度0.05，邊界半徑1000 m，地層溫度395.6 K，天然氣相對密度0.58。按照本模型軟件計算結(jié)果如下。

從圖4中可以看出在壓裂水平井中初始產(chǎn)量一般相對較高且隨時間遞減較快，在生產(chǎn)40～50 d后遞減速率才趨于平穩(wěn)。通過計算預(yù)測年均日產(chǎn)量為34.460 9×10⁴ m³，實際生產(chǎn)時的年均日產(chǎn)量為33.564 9×10⁴ m³，實際產(chǎn)量和預(yù)測產(chǎn)量的誤差為2.6％。從上面數(shù)據(jù)可以看出實際產(chǎn)量和模擬產(chǎn)量存在一定差別，這主要是模擬計算受到提供的裂縫間距、裂縫方位角和表皮系數(shù)等參數(shù)的影響。另外，實際生產(chǎn)時，還會存在兩種微弱的壓力降：氣體在水平井筒內(nèi)流動的摩阻壓降^[9]及從裂縫進(jìn)入水平井筒時產(chǎn)生的加速度壓降，它們對于模擬計算結(jié)果也會產(chǎn)生一定的影響。

3.2裂縫參數(shù)對產(chǎn)能影響狀況分析

在前面相同的油藏參數(shù)基礎(chǔ)上，分別改變裂縫長度、裂縫寬度、裂縫滲透率、裂縫問距和方位角等輸人參數(shù)，利用本模型可以模擬各個裂縫參數(shù)的變化對壓裂水平氣井產(chǎn)量的影響情況。

從圖5、6可以看出壓裂水平氣井的產(chǎn)量是隨著裂縫條數(shù)和裂縫長度的增加而增加，但是當(dāng)裂縫條數(shù)增加到一定大小時，壓裂井的產(chǎn)量增加并不明顯。因此并不是裂縫條數(shù)越多、裂縫長度越長，裂縫的產(chǎn)量就越高。因為當(dāng)裂縫的條數(shù)過多、裂縫長度過長時，裂縫間的相互干擾作用就會越嚴(yán)重。

由圖7可以看出隨著裂縫平面與水平井筒夾角的增大，壓裂水平氣井的產(chǎn)量是增加的。這是因為各條裂縫之間的垂直距離變大，使得各條裂縫之間的相互干擾減弱，這就增大了每一條裂縫的有效泄流面積，增加了每條裂縫的產(chǎn)量，促使了壓裂氣井產(chǎn)量的增加。

綜合圖8～10可以得知：壓裂水平氣井的產(chǎn)量是隨著裂縫寬度和裂縫滲透率的增加而增加，并且增長效果顯著。但是隨著滲透率和寬度的逐漸加大，產(chǎn)量增加的幅度在減?。涣芽p間距的增加也會引起產(chǎn)量的增加。因此，在壓裂方案設(shè)計和實際施工時應(yīng)把握好主要因素，使各參數(shù)的數(shù)值控制在合理的范圍內(nèi)，最大限度地提高氣井產(chǎn)量。

4  結(jié)論

1)筆者在復(fù)位勢理論和勢的疊加原理等基本滲流理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了均質(zhì)圓形封閉邊界氣藏壓裂水平井的生產(chǎn)動態(tài)預(yù)測公式。該模型公式具有很好的適用性，它能夠用于非對稱裂縫、不等距裂縫、任意縫長組合裂縫、任意導(dǎo)流能力組合裂縫和任意方位角裂縫壓裂水平氣井的產(chǎn)量模擬計算。應(yīng)用該公式對吉林油田某水平氣井進(jìn)行了實例計算，計算值和實際值的

誤差為2.6％，說明了該預(yù)測公式準(zhǔn)確性較高能夠滿足現(xiàn)場要求。

2)通過本預(yù)測公式能夠很好地模擬分析裂縫方位、裂縫條數(shù)、裂縫長度、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫間距等裂縫參數(shù)對壓裂水平氣井的產(chǎn)量影響。

3)該預(yù)測公式考慮了水平氣井壓開多條裂縫時可能存在的縫間干擾能夠很好地聯(lián)系生產(chǎn)實際，計算速度快，求得的解穩(wěn)定可靠。在多裂縫水平氣井中具有較高的應(yīng)用價值。

符號說明

p_i為原始地層壓力，MPa；p(x，y，t)為平面上的點(x，y)處t時刻地層的壓力，MPa；p(-)為氣藏平均壓力，MPa；q_sc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下點匯處氣體的體積流量，l0⁴ m³／d；μ(-)為平均壓力和溫度下的氣體的黏度，mPa·s；B_g為地下氣體的體積系數(shù)，無量綱；K為氣層滲透率，D；h為產(chǎn)層厚度，m；x₀、y₀分別為點匯的坐標(biāo)，m；T為氣層溫度，K；r_e為封閉外邊界半徑，m；t為滲流時間，h；Z(-)為平均溫度和壓力下的天然氣偏差因子，利用D-A-K方法求；η為地層導(dǎo)壓系數(shù)，μm²·MPa／(mPa·s)，η=K/(μC_φ)；a_n為方程X的根；J₁、Y₁為第一類、第二類一階貝塞爾函數(shù)。

參考文 獻(xiàn)

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本文作者：李勇明  李亞洲  趙金洲  張烈輝

作者單位： “油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室·西南石油大學(xué)